TEMA: Rentas

Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de un capital único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo, hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, ... En todas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora.

Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea de desplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas «fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.

CONCEPTO

La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo.

Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:

  • Existencia de varios capitales, al menos dos.
  • Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).

ELEMENTOS

  • Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta.
  • Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital.
  • Final: momento en el que termina de devengarse el último capital.
  • Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta.
  • Término: cada uno de los capitales que componen la renta.
  • Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos.
  • Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.

Gráficamente:

 

 

VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t (Vt)

Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t.

 

 

Casos particulares

Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero.

Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n.

CLASES

1.4.1. Según la cuantía de los términos

  • Constante: cuando todos los capitales son iguales.
  • Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir:
    - Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente.
    - Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden.
       - En progresión geométrica.
       - En progresión aritmética.

1.4.2. Según el número de términos

  • Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales.
  • Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales.

1.4.3. Según el vencimiento del término

  • Pospagable: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo.
  • Prepagable: los capitales se sitúan a principio de cada período.

1.4.4. Según el momento de valoración

  • Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final.
  • Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen.
  • Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.

1.4.5. Según la periodicidad del vencimiento

  • Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada.
  • No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta a la del tanto de valoración.
  • Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada el tipo de valoración de la renta.

1.4.6. Según la ley financiera

  • Simple: emplea una ley financiera a interés simple, para desplazar los capitales.
  • Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.

Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesario clasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de la combinación que presente habrá que aplicar una u otra, según proceda.

A las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el valor actual y final y para ello bastará con recordar la fórmula matemática que permite sumar una serie de términos que varían en progresión geométrica, creciente o decreciente. Estas expresiones son las siguientes:

         a1 - an x r
S = ------------------
             1 - r

fórmula de la suma de n términos en progresión decreciente,

         an x r - a1
S = -----------------
             r - 1

para el caso de la suma de n términos en progresión creciente, donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón que siguen los términos.

 

1. Rentas constantes

Las rentas de cuantía constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.

RENTA CONSTANTE, UNITARIA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA

Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).

1.1. Cálculo del valor actual

Comenzaremos por la renta constante más fácil, la que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:

 

 

 

Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología anùi, donde n representa el número de capitales e i el tanto de valoración:

 

 

 

que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:

 

que se puede calcular con la siguiente expresión:

 

que permite sumar n términos en progresión decreciente, donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón.

Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:

 

 

 

 

 

expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí hasta su origen al tanto de interés i.

Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual se representa por Anùi y se obtendría de la siguiente forma:

 

 

 

Sacando factor común el término c:  

 

 Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n términos, anùi:

 

 

La expresión Anùi indica, pues, que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad.

 

EJEMPLO 1

Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

 

 

 

Moviendo los capitales uno a uno:

 

Utilizando la renta:

 

 

EJEMPLO 2

Calcular el valor de la imposición que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de interés efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 euros al final de cada uno de los próximos 5 años.

Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposición y los reintegros, aquélla debe coincidir con el valor actualizado de estos últimos. Así, la imposición inicial será el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operación.

 

 

 

 

 

2.1.2. Cálculo del valor final

Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal -n capitales-, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los términos de la renta en su final (momento n), quedando gráficamente así:

 

 

Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminología snùi siendo n el número de capitales e i el tanto de valoración:

 

 

Que no es sino la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresión:

 

donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón.

Aplicando dicha fórmula a los términos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:

 

 

 

Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoración:

 

 

 

por tanto el valor final de la renta será la capitalización de su valor actual.

 

Comprobación:

 

 

 

En el supuesto de ser los términos de cuantía c, el valor final (Snùi) se calculará así:

 

 

 

Simplificando, tomando factor común el término c:

 

 

 

Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n términos, pospagable, inmediata y entera, snùi:

 

 

 

Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:

 

 

 

EJEMPLO 3

Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.

 

 

 

Desplazando los capitales uno a uno:

V3 = 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331 €

Utilizando la renta:

 

 

 

Capitalizando el valor actual:

V3 = 248,69 x (1 + 0,1)3 = 331 €

 

EJEMPLO 4

Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 años, si imponemos al final de cada uno de ellos 20.000 euros siendo el tipo de interés de la cuenta el 12% efectivo anual.

El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de interés de la propia cuenta.

 

 

 

 

 

 

EJEMPLO 5

Calcular el número de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de cada año para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual.

En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.

 

 

 

 

 

 

 

y mediante logaritmos se despeja la incógnita n: